Прямая пропорциональность и её график. Прямая пропорциональность и ее график Прямая пропорциональность и её график
Определение прямой пропорциональности
Для начала напомним следующее определение:
Определение
Две величины называются прямо пропорциональными, если их отношение равно конкретному, отличному от нуля числу, то есть:
\[\frac{y}{x}=k\]
Отсюда мы видим, что $y=kx$.
Определение
Функция вида $y=kx$ называется прямой пропорциональностью.
Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции $y=kx+b$ при $b=0$. Число $k$ называется коэффициентом пропорциональности.
Примером прямой пропорциональности может служить второй закон Ньютона : Ускорение тела прямо пропорционально приложенной к нему силе:
Здесь масса -- коэффициент пропорциональности.
Исследование функции прямой пропорциональности $f(x)=kx$ и её график
Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k > 0$.
- $f"\left(x\right)={\left(kx\right)}"=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
- ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
- График (рис. 1).
Рис. 1. График функции $y=kx$, при $k>0$
Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k
- Область определения -- все числа.
- Область значения -- все числа.
- $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Функция прямой пропорциональности нечетна.
- Функция проходит через начало координат.
- $f"\left(x\right)={\left(kx\right)}"=k
- $f^{""}\left(x\right)=k"=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
- ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
- График (рис. 2).
Рис. 2. График функции $y=kx$, при $k
Важно: для построения графика функции $y=kx$ достаточно найти одну, отличную от начала координат точку $\left(x_0,\ y_0\right)$ и провести прямую через эту точку и начало координат.
Трихлеб Даниил ученик 7 А класса
знакомство с прямой пропорциональностью и коэффициентом прямой пропорциональности (введение понятия угловой коэффициент”);
построение графика прямой пропорциональности;
рассмотрение взаимного расположения графиков прямой пропорциональности и линейной функции с одинаковыми угловыми коэффициентами.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Прямая пропорциональность и её график
Что такое аргумент и значение функции? Какая переменная называется независимой, зависимой? Что такое функция? ПОВТОРЕНИЕ Что такое область определения функции?
Способы задания функции. Аналитический (с помощью формулы) Графический (с помощью графика) Табличный (с помощью таблицы)
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции. ГРАФИК ФУНКЦИИ
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
ВЫПОЛНИТЕ ЗАДАНИЕ Постройте график функции y = 2 x +1, где 0 ≤ х ≤ 4 . Составьте таблицу. По графику найдите значение функции при х=2,5 . При каком значении аргумента значение функции равно 8 ?
Определение Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у= k х, где х - независимая переменная, k - не равное нулю число. (k- коэффициент прямой пропорциональности) Прямая пропорциональная зависимость
8 График прямой пропорциональ - ности - прямая, проходящая через начало координат (точку О(0,0)) Чтобы построить график функции y= kx , достаточно двух точек, одна из которых О (0,0) При k > 0 график расположен в I и III координатных четвертях. При k
Графики функций прямой пропорциональности y x k>0 k>0 k
Задание Определите, на каком из графиков изображена функция прямой пропорциональности.
Задание Определите, график какой функции изображен на рисунке. Выберите формулу из трех предложенных.
Устная работа. Может ли график функции, заданной формулой у= k х, где k
Определите, какие из точек А(6,-2), В(-2,-10),С(1,-1),Е(0,0) принадлежат графику прямой пропорциональности, заданной формулой у = 5х 1) А(6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - неверно. Точка А не принадлежит графику функции у=5х. 2) В(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - верно. Точка В принадлежит графику функции у=5х. 3) С(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - неверно Точка С не принадлежит графику функции у=5х. 4) Е (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - верно. Точка Е принадлежит графику функции у=5х
ТЕСТ 1 вариант 2 вариант №1. Какие из функций, заданные формулой, являются прямой пропорциональной зависимостью? А. y = 5x В. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
№2. Выпишите номера прямых y = kx , где k > 0 1 вариант k
№3. Определите, какие из точек принадлеж a т графику прямой пропорциональности, заданной формулой У= -1 /3 Х А(6 -2) ,В(-2 -10) 1 вариант С(1,-1),Е(0,0) 2 вариант
y =5x y =10x III А VI и IV E 1 2 3 1 2 3 № Правильный ответ Правильный ответ №
Выполните задание: Покажите схематически, как расположен график функции, заданной формулой: y =1,7 x у =-3 ,1 х у=0,9 х у=-2,3 х
ЗАДАНИЕ Из следующих графиков выберите только графики прямой пропорциональности.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Функции у = 2х + 3 2. у = 6/ х 3. у = 2х 4. у = - 1,5х 5. у = - 5/ х 6. у = 5х 7. у = 2х – 5 8. у = - 0,3х 9. у = 3/ х 10. у = - х /3 + 1 Выберите функции вида у= k х (прямая пропорциональность) и выпишите их
Функции прямой пропорциональности У = 2х У = -1,5х У = 5х У = -0,3х у х
у Линейные функции, не являющиеся функциями прямой пропорциональности 1) у = 2х + 3 2) у = 2х – 5 х -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 у = 2х + 3 у = 2х - 5
Домашнее задание: п.15 стр.65-67, № 307; № 308.
Еще раз давайте повторим. Что вы узнали нового? Чему научились? Что показалось особенно трудным?
Понравился урок и тема понята: Понравился урок, но не всё ещё понятно: Урок не понравился и тема не понятна.
Построим график функции, заданной формулой у = 0,5х.
1. Область определения этой функции – множество всех чисел.
2. Найдем некоторые соответственные значения переменных х и у .
Если х = -4, то у = -2.
Если х = -3, то у = -1,5.
Если х = -2, то у = -1.
Если х = -1, то у = -0,5.
Если х = 0, то у = 0.
Если х = 1, то у = 0,5.
Если х = 2, то у = 1.
Если х = 3, то у = 1,5.
Если х = 4, то у = 2.
3. Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых мы определили в пункте 2. Отметим, что построенные точки принадлежат некоторой прямой.
4. Определим, принадлежат ли этой прямой другие точки графика функции. Для этого найдем координаты еще нескольких точек графика.
Если х = -3,5, то у = -1,75.
Если х = -2,5, то у = -1,25.
Если х = -1,5, то у = -0,75.
Если х = -0,5, то у = -0,25.
Если х = 0,5, то у = 0,25.
Если х = 1,5, то у = 0,75.
Если х = 2,5, то у = 1,25.
Если х = 3,5, то у = 1,75.
Построив новые точки графика функции, замечаем, что они принадлежат той же прямой.
Если мы будем уменьшать шаг наших значений (брать, например, значения х через 0,1; через 0,01 и т.д.), мы будем получать другие точки графика, принадлежащие той же прямой и расположенные все более близко друг от драга. Множество всех точек графика данной функции есть прямая линия, проходящая через начало координат.
Т.о., график функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, есть прямая, проходящая через начало координат.
Если область определения функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, состоит не из всех чисел, то ее графиком служит подмножество точек прямой (например, луч, отрезок, отдельные точки).
Для построения прямой достаточно знать положение двух ее точек. Поэтому график прямой пропорциональности, заданной на множестве всех чисел, можно строить по любым двум его точкам (в качестве одной из них удобно брать начало координат).
Пусть, например, требуется построить график функции, заданной формулой у = -1,5х . Выберем какое-либо значение х , не равное 0 , и вычислим соответствующее значение у .
Если х = 2, то у = -3.
Отметим на координатной плоскости точку с координатами (2; -3) . Через эту точку и начало координат проведем прямую. Эта прямая – искомый график.
Основываясь на данном примере, можно доказать, что всякая прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осями, является графиком прямой пропорциональности.
Доказательство .
Пусть дана некоторая прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осями. Возьмем на ней точку с абсциссой 1. Обозначим ординату этой точки через k. Очевидно, что k ≠ 0. Докажем, что данная прямая является графиком прямой пропорциональности с коэффициентом k.
Действительно, из формулы у = kх следует, что если х = 0, то у = 0, если х = 1, то у = k, т.е. график функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, есть прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; k).
Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, то данная прямая совпадает с графиком функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0 , что и требовалось доказать.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Рассмотрим прямо пропорциональную зависимость с некоторым определённым коэффициентом пропорциональности. Например, . При помощи системы координат на плоскости можно наглядно изобразить данную зависимость. Объясним, как это делается.
Дадим х какое-нибудь числовое значение; положим, например, и вычислим соответствующее значение у; в нашем примере
Построим на координатной плоскости точку с абсциссой и с ординатой . Эту точку назовём точкой, соответствующей значению (черт. 23).
Будем придавать х различные значения и для каждого значения х построим соответствующую точку на плоскости.
Составим такую таблицу (в верхней строчке будем выписывать те значения, которые мы придаём х, а под ними в нижней строчке - соответствующие значения у):
Составив таблицу, построим для каждого значения х соответствующую ему точку на координатной плоскости.
Нетрудно проверить (приложив, например, линейку), что все построенные точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.
Разумеется, х можно придавать любые значения, а не только те, которые выписаны в таблице. Можно брать любые дробные значения, например:
Нетрудно проверить, вычислив значения у, что соответствующие точки расположатся на той же прямой.
Если для каждого значения построить соответствующую ему точку, то на плоскости выделится множество точек (в нашем примере прямая), координаты которых находятся в зависимости
Это множество точек плоскости (то есть построенная на чертеже 23 прямая) называется графиком зависимости
Построим график прямо пропорциональной зависимости с отрицательным коэффициентом пропорциональности. Положим, например,
Поступим так же, как и в предыдущем примере: будем придавать х различные числовые значения и вычислять соответствующие значения у.
Составим, например, такую таблицу:
Построим на плоскости соответствующие точки.
Из чертежа 24 видно, что, как и в предыдущем примере, точки плоскости, координаты которых находятся в зависимости расположены на одной прямой, проходящей через начало координат и расположенной во
II и IV четвертях.
Ниже (в курсе VIII класса) будет доказано, что графиком прямо пропорциональной зависимости с любым коэффициентом пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
Можно строить график прямой пропорциональности гораздо проще и легче, чем строили до сих пор.
Для примера построим график зависимости