Построение графика функции определение. ГИА
Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:
- область определения функции
- область значений функции
- нули функции
- промежутки возрастания и убывания
- точки максимума и минимума
- наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Уточним терминологию:
Абсцисса
- это координата точки по горизонтали.
Ордината
- координата по вертикали.
Ось абсцисс
- горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат
- вертикальная ось, или ось .
Аргумент
- независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .
Область определения
функции - множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .
На нашем рисунке область определения функции - это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.
Область значений функции - это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок - от самого нижнего до самого верхнего значения .
Нули функции - точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .
Значения функции положительны
там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны
там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .
Важнейшие понятия - возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.
Функция возрастает
Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.
Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .
Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.
На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .
Определим, что такое точки максимума и минимума функции .
Точка максимума
- это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума - такая точка, значение функции в которой больше
, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.
На нашем рисунке - точка максимума.
Точка минимума
- внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума - такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».
На нашем рисунке - точка минимума.
Точка - граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.
Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции . В нашем случае это и .
А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции - это ее значение в точке минимума.
Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .
Можно сказать, что экстремумы функции равны и .
Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.
В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.
В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.
Выделяют следующие виды основных элементарных функций:
Определение 1
- постоянная функция (константа);
- корень n -ой степени;
- степенная функция;
- показательная функция;
- логарифмическая функция;
- тригонометрические функции;
- братные тригонометрические функции.
Постоянная функция определяется формулой: y = C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C .
График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0 , С) . Для наглядности приведем графики постоянных функций y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).
Определение 2
Данная элементарная функция определяется формулой y = x n (n – натуральное число больше единицы).
Рассмотрим две вариации функции.
- Корень n -й степени, n – четное число
Для наглядности укажем чертеж, на котором изображены графики таких функций: y = x , y = x 4 и y = x 8 . Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.
Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.
Определение 3
Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число
- область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [ 0 , + ∞) ;
- когда x = 0 , функция y = x n имеет значение, равное нулю;
- данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
- область значений: [ 0 , + ∞) ;
- данная функция y = x n при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
- функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
- отсутствуют точки перегиба;
- асимптоты отсутствуют;
- график функции при четных n проходит через точки (0 ; 0) и (1 ; 1) .
- Корень n -й степени, n – нечетное число
Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y = x 3 , y = x 5 и x 9 . На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.
Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.
Определение 4
Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число
- область определения – множество всех действительных чисел;
- данная функция – нечетная;
- область значений – множество всех действительных чисел;
- функция y = x n при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
- функция имеет вогнутость на промежутке (- ∞ ; 0 ] и выпуклость на промежутке [ 0 , + ∞) ;
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) ;
- асимптоты отсутствуют;
- график функции при нечетных n проходит через точки (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) и (1 ; 1) .
Степенная функция
Определение 5Степенная функция определяется формулой y = x a .
Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.
- когда степенная функция имеет целый показатель a , то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
- показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0 < a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
- степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.
Разберем степенную функцию y = x a , когда a – нечетное положительное число, например, a = 1 , 3 , 5 …
Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x (черный цвет графика), y = x 3 (синий цвет графика), y = x 5 (красный цвет графика), y = x 7 (зеленый цвет графика). Когда a = 1 , получаем линейную функцию y = x .
Определение 6
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный
- функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (исключая линейную функцию);
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) (исключая линейную функцию);
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
Разберем степенную функцию y = x a , когда a – четное положительное число, например, a = 2 , 4 , 6 …
Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x 2 (черный цвет графика), y = x 4 (синий цвет графика), y = x 8 (красный цвет графика). Когда a = 2 , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.
Определение 7
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:
- область определения: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- убывающей при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- очки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – нечетное отрицательное число: y = x - 9 (черный цвет графика); y = x - 5 (синий цвет графика); y = x - 3 (красный цвет графика); y = x - 1 (зеленый цвет графика). Когда a = - 1 , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.
Определение 8
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1 , - 3 , - 5 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- функция является нечетной, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является убывающей при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0) и вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда а = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .
- точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .
На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – четное отрицательное число: y = x - 8 (черный цвет графика); y = x - 4 (синий цвет графика); y = x - 2 (красный цвет графика).
Определение 9
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:
- область определения: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2 , - 4 , - 6 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;
- функция является четной, поскольку y (- x) = y (x) ;
- функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; 0) и убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 , поскольку:
k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .
- точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .
С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал - ∞ ; + ∞ , оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [ 0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.
Итак, разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0 < a < 1 .
Проиллюстрируем графиками степенные функции y = x a , когда a = 11 12 (черный цвет графика); a = 5 7 (красный цвет графика); a = 1 3 (синий цвет графика); a = 2 5 (зеленый цвет графика).
Иные значения показателя степени a (при условии 0 < a < 1) дадут аналогичный вид графика.
Определение 10
Свойства степенной функции при 0 < a < 1:
- область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
Разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a > 1 .
Проиллюстрируем графиками степенную функцию y = x a в заданных условиях на примере таких функций: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).
Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.
Определение 11
Свойства степенной функции при a > 1:
- область определения: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) (когда 1 < a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (0 ; 0) , (1 ; 1) .
Обращаем ваше внимание!Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.
Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y = x a при условии: - 1 < a < 0 .
Приведем чертеж графиков следующий функций: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).
Определение 12
Свойства степенной функции при - 1 < a < 0:
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда - 1 < a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ 0 ; + ∞ ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- точки перегиба отсутствуют;
На чертеже ниже приведены графики степенных функций y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).
Определение 13
Свойства степенной функции при a < - 1:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ ;
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда a < - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- функция является убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 ;
- точка прохождения функции: (1 ; 1) .
Когда a = 0 и х ≠ 0 , получим функцию y = x 0 = 1 , определяющую прямую, из которой исключена точка (0 ; 1) (условились, что выражению 0 0 не будет придаваться никакого значения).
Показательная функция имеет вид y = a x , где а > 0 и а ≠ 1 , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a . Рассмотрим частные случаи.
Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0 < a < 1) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).
Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0 < a < 1 .
Определение 14
Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к + ∞ ;
Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а > 1) .
Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).
Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.
Определение 15
Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:
- область определения – все множество действительных чисел;
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к - ∞ ;
- точка прохождения функции: (0 ; 1) .
Логарифмическая функция имеет вид y = log a (x) , где a > 0 , a ≠ 1 .
Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x ∈ 0 ; + ∞ .
График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0 < a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).
Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.
Определение 16
Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к + ∞ ;
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- логарифмическая
- функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже –графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).
Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.
Определение 17
Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к - ∞ ;
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ (все множество действительных чисел);
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точка прохождения функции: (1 ; 0) .
Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.
В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f (x + T) = f (x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.
- Функция синус: y = sin (х)
График данной функции называется синусоида.
Определение 18
Свойства функции синус:
- область определения: все множество действительных чисел x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- функция обращается в нуль, когда x = π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- функция является возрастающей при x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
- функция синус имеет локальные максимумы в точках π 2 + 2 π · k ; 1 и локальные минимумы в точках - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
- функция синус вогнутая, когда x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция косинус: y = cos (х)
График данной функции называется косинусоида.
Определение 19
Свойства функции косинус:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- наименьший положительный период: Т = 2 π ;
- область значений: y ∈ - 1 ; 1 ;
- данная функция – четная, поскольку y (- x) = y (x) ;
- функция является возрастающей при x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
- функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локальные минимумы в точках π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
- функция косинус вогнутая, когда x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
- асимптоты отсутствуют.
- Функция тангенс: y = t g (х)
График данной функции называется тангенсоида.
Определение 20
Свойства функции тангенс:
- область определения: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- Поведение функции тангенс на границе области определения lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким образом, прямые x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
- функция обращается в нуль, когда x = π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является возрастающей при - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z ;
- функция тангенс является вогнутой при x ∈ [ π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π · k ; 0 , k ∈ Z ;
- Функция котангенс: y = c t g (х)
График данной функции называется котангенсоида.
Определение 21
Свойства функции котангенс:
- область определения: x ∈ (π · k ; π + π · k) , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
Поведение функции котангенс на границе области определения lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким образом, прямые x = π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
- наименьший положительный период: Т = π ;
- функция обращается в нуль, когда x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является убывающей при x ∈ π · k ; π + π · k , k ∈ Z ;
- функция котангенс является вогнутой при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k) , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
- наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.
Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.
- Функция арксинус: y = a r c sin (х)
Определение 22
Свойства функции арксинус:
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция арксинус имеет вогнутость при x ∈ 0 ; 1 и выпуклость при x ∈ - 1 ; 0 ;
- точки перегиба имеют координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция арккосинус: y = a r c cos (х)
Определение 23
Свойства функции арккосинус:
- область определения: x ∈ - 1 ; 1 ;
- область значений: y ∈ 0 ; π ;
- данная функция - общего вида (ни четная, ни нечетная);
- функция является убывающей на всей области определения;
- функция арккосинус имеет вогнутость при x ∈ - 1 ; 0 и выпуклость при x ∈ 0 ; 1 ;
- точки перегиба имеют координаты 0 ; π 2 ;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция арктангенс: y = a r c t g (х)
Определение 24
Свойства функции арктангенс:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- область значений: y ∈ - π 2 ; π 2 ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является возрастающей на всей области определения;
- функция арктангенс имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
- горизонтальные асимптоты – прямые y = - π 2 при x → - ∞ и y = π 2 при x → + ∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).
- Функция арккотангенс: y = a r c c t g (х)
Определение 25
Свойства функции арккотангенс:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- область значений: y ∈ (0 ; π) ;
- данная функция – общего вида;
- функция является убывающей на всей области определения;
- функция арккотангенс имеет вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) и выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- точка перегиба имеет координаты 0 ; π 2 ;
- горизонтальные асимптоты – прямые y = π при x → - ∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y = 0 при x → + ∞ .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Построить функцию
Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.
Преимущества построения графиков онлайн
- Визуальное отображение вводимых функций
- Построение очень сложных графиков
- Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
- Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
- Управление масштабом, цветом линий
- Возможность построения графиков по точкам, использование констант
- Построение одновременно нескольких графиков функций
- Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.