Белый шум. Гауссовский белый шум
При рассмотрении гауссовского процесса часто бывает удобно представить его в виде суммы его функции средних и некоторого шумового процесса с нулевым средним значением. Таким образом,
где гауссовский процесс с нулевым средним значением:
В наиболее интересных прикладных задачах, например в случае дробового шума [равенство ], функция средних представляет собой известный (не случайный) сигнал, а гауссовский шумовой процесс, стационарный в узком смысле. При этом поскольку то ковариационная функция равна корреляционной функции [см. формулу ]:
Таким образом, преобразование Фурье функции т. е. спектральная плотность мощности полностью задает процесс с нулевым средним.
Во многих приложениях теории связи приходится сталкиваться с источниками физического шума, в которых спектральная плотность мощности гауссовского шума, накладывакпцегося на полезный сигнал, остается практически постоянной вплоть до частот, много более высоких, чем частоты, являющиеся основными в самом сигнале. В таких случаях из равенств (3.115) и (3.116) следует, что среднее квадратичное значение шумовых помех может быть уменьшено (без нежелательного влияния на полезный сигнал) путем пропускания суммы сигнала и шума через фильтр сигнал выходит из фильтра без каких-либо существенных изменений, а шум в значительной степени подавляется (фиг. 3.27). Поскольку мы интересуемся только спектральной плотностью мощности шума на выходе фильтра, то представляется малосущественным, каков спектр шума на входе в области, где он приближается к нулю вне полосы пропускания фильтра . В соответствии с этим часто предполагают, что спектр входного шума является постоянным на всех частотах и вводят понятие белого гауссовского шума который определяется как стационарный гауссовский процесс с нулевым средним
Фиг. 3.27. Широкополосный гауссовский шум на Гвходс узкополосного фильтра. На выходе фильтра появляется в точности такой же процесс, как если бы на вход поступал белый шум.
и со спектральной плотностью мощности
В действительности белый шум может быть только фиктивным, поскольку его общая средняя мощность должна равняться
что бессмысленно. Полезность понятия белого шума следует из того факта, что такой шум, будучи пропущенным через линейный фильтр, для которого
превращается на выходе фильтра в стационарный гауссовский процесс с нулевым средним значением, что уже отнюдь не бессмысленно. Из равенств (3.114) и (3.132) получаем
откуда следует, что
Эта величина конечна по предположению (3.1336). В соответствии с равенствами (3.120) и (3.134а) корреляционная функция процесса на выходе
Другой вывод равенства (3.125) получается непосредственно на основе выражения для корреляционной функции белого шума. Заметим, что
Таким образом, в соответствии с равенством (3.111) процесс задается к орреляционной функцией
которая тоже, хотя и не имеет физического смысла, полезна при вычислениях. Из равенства (3.1366) следует, что любые два выборочных значения белого гауссовского шума являются статистически независимыми, как бы близко друг к другу ни выбирались моменты их наблюдения. В некотором смысле белый гауссовский шум описывает предельную «случайность». Подставляя выражение (3.1366) в соотношение (3.110а) при получаем
Фиг. 3.28. Прохождение белого шума через идеальный фильтр нижних частот.
Представляя как обратное преобразование Фурье функции и меняя порядок интегрирования, приходим снова к равенству (3.135). Интеграл в правой части равенств (3.137) часто называют «корреляционной функцией» (детерминированной) функции
В качестве примера приложения этих результатов рассмотрим идеальный фильтр нижних частот, изображенный на фиг. 3.28, передаточная функция которого задается как
Если на вход этого фильтра поступает белый гауссовский шум то функция средних процесса на выходе определяется равенством
Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?
Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).
Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.
Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик , уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.
Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.
А) Белый шум .
стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности называется белым шумом.
По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума:
равна
нулю всюду кроме точки
.
Средняя мощность (дисперсия) белого
шума неограниченно велика.
Белый
шум является дельта-коррелированным
процессом. Некоррелированность мгновенных
значений такого случайного сигнала
означает бесконечно большую скорость
изменения их во времени – как бы мал ни
был интервал
,
сигнал за это время может измениться
на любую наперёд заданную величину.
Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс, безусловно, не существует в природе. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума.
Б) Гауссово (нормальное) распределение .
В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности.
(7.2)
Замена
переменной
даёт:
(7.3)
Здесь Ф интеграл вероятностей
График функции F(x) имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от 0 до 1.
16.. Узкополосный случайный процесс. Распределение Рэлея. Закон Релея-Райса.
Исследуем
свойства узкополосных случайных
сигналов, у которых спектральная
плотность мощности имеет резко выраженный
максимум вблизи некоторой частоты
,
отличной от нуля. Определим функцию
корреляции узкополосного случайного
процесса.
Рассмотрим
стационарный случайный процесс x(t),
односторонний спектр мощности которого
концентрируется в окрестности некоторой
частоты
>0.
По теореме Винера-Хинчина функция
корреляции данного процесса
(7.4)
сместим
спектр процесса из окрестности частоты
в окрестность нулевой частоты,
(7.5)
Проводя усреднение с помощью плотности вероятности (7.22) находим среднее значение огибающей и её дисперсию:
(7.23)
(7.24)
Располагая одномерной плотностью вероятности огибающей, можно решить ряд задач теории узкополосных случайных процессов, в частности, найти вероятность превышения огибающей некоторого заданного уровня.
Случайные величины, распределенные по закону Рэлея ,
Простейшей
задачей является нахождение одномерной
плотности вероятности огибающей
суммарного колебания. Считая, что
полезный сигнал
,
в то время как шум,
запишем выражение реализации суммарного
процессаX(t)
.
Данный случайный процесс узкополосен,
поэтому его реализация может быть
выражена посредством медленно меняющихся
огибающейU(t)
и начальной фазы
:
В новых переменных имеем.
(7.26)
Теперь чтобы получить одномерную плотность вероятности огибающей, следует проинтегрировать правую часть формулы (7.26) по угловой координате в результате чего находим:
(7.27)
Данная
формула выражает закон, получивший
название закона Райса. Отметим, что при
,
т.е. в отсутствие детерминированного
сигнала, закон Райса переходит в закон
Рэлея.
Подставив это выражение в (7.27), имеем
(7.28)
Т.е.
огибающая результирующего сигнала
распределена в этом случае приближённо
нормально с дисперсией
и математическим ожиданием
.
Практически считают, что уже при
огибающая результирующего сигнала
нормализуется.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Аддитивный белый гауссовский шум" в других словарях:
аддитивный белый гауссовский шум - Вид мешающего воздействия в канале передачи информации. Характеризуется равномерной спектральной плотностью, нормально распределённым значением амплитуды и аддитивным способом воздействия на сигнал. Наиболее распространённый вид шума,… … Справочник технического переводчика
У этого термина существуют и другие значения, см. Белый шум (значения). Цвета шума Белый шум Розовый шум Красный шум Серый шум … Википедия
Аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ, англ. AWGN) вид мешающего воздействия в канале передачи информации. Характеризуется равномерной спектральной плотностью, нормально распределённым значением амплитуды и аддитивным способом воздействия на… … Википедия
Плотность вероятности Зеленая лин … Википедия
Нормальное распределение Плотность вероятности Красная линия соответствует стандартному нормальному распределению Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Сигнал (значения). Оптимальный приём сигналов область радиотехники, в которой обработка принимаемых сигналов осуществляется на основе методов математической статистики … Википедия
АБГШ - аддитивный белый гауссовский шум … Словарь сокращений и аббревиатур
9. Белый шум
9. Белый шум
- 9.1. Определение белого шума.
- 9.2. Гауссовский белый шум.
- 9.3. Физические источники белого шума.
- 9.4. Коррелированность процессов.
9.1. Определение белого шума
- Стационарный в узком смысле случайный процесс с функ-цией спектральной плотности мощности, равной положи-тельной постоянной величине, называется белым шумом.
- Название произошло из оптики, белый цвет получается смешиванием волн различных частот видимого диапазона.
- Обычно в процессе белого шума математическое ожидание равно нулю, m = 0.
- Так как белый шум стационарный в узком смысле процесс то его автокорреляционная функция зависит от одного аргумента τ;
- KXX(τ) является четной.
9.1. Определение белого шума
- Функция спектральной плотности KXX(ω) получается из автокорреляционной функции преобразованием Фурье, а поскольку функция KXX(ω) четная, то можно использо-вать косинус-преобразование.
- Пусть KXX(ω) = c > 0. Обратное преобразование Фурье (или обратное косинус-преобразование) постоянной функции равно δ-функции с коэффициентом c
9.1. Определение белого шума
- Следовательно, белый шум – некоррелированный процесс, случайные величины X(t1) и X(t2) , то есть их корреляция равна нулю (сл. величины линейно независимы) для любых. Распределение случайной величины X(t0) в определении белого шума не уточняется, оно может быть любым.
- Энергия сигнала пропорциональна интегралу
- Отсюда следует, что белого шума не существует.
9.2. Гауссовский белый шум
- Рассмотрим стационарный некоррелированный гауссовский процесс.
- Пусть математическое ожидание процесса a = 0, средне-квадратическое равно σ. Тогда ввиду нулевого математи-ческого ожидания
- Если σ стремится к бесконечности, то такой гауссовский процесс стремится к белому шуму. Но в реальном при-ложении приходится ограничиться конкретным значени-ем среднеквадратического σ . Положим σ = 10 , и найдем спектральную плотность такого процесса.
9.2. Гауссовский белый шум
- Найти преобразование Фурье функции KXX(τ) гауссовского процесса можно предельным переходом (при ε стремится к 0) преобразования Фурье прямоугольного импульса R(σ2, ε, t) (см. 3.8. Примеры Фурье-преобразований).
В правой части получена функция, которая при ε 0 стремится к спектральной функции плотности KXX(ω) белого шума.
9.2. Гауссовский белый шум
- Графики приближения спектральной плотности, полученной из гауссовского процесса при σ = 10
- для ε = 1, 0.5, 0.1
9.2. Гауссовский белый шум
- Функция действительно стремится к постоянной, но эта постоянная равна нулю. Тем не менее на ограниченном интервале частот функцию приближенно можно считать ненулевой постоянной.
- Таким образом, стационарный некоррелированный гаус-совский процесс можно рассматривать как приближение к белому шуму. Это реально используется в практических задачах.
9.2. Гауссовский белый шум
- Применяя свойство эргодичности гауссовского процесса, оценим функции автокорреляции и спектральной плотности по одной реализации объемом n=1000 измерений.
- График реализации некоррелированного гауссовского процесса при a = 0, σ = 10.
9.2. Гауссовский белый шум
- График оценки функции автокорреляции (статистическая функция автокорреляции) при n=1000 , a = 0, σ = 10.
9.2. Гауссовский белый шум
- График статистической функции спектральной плотности при n=1000 , a = 0, σ = 10 (интеграл вычислялся методом прямоугольников, красная горизонтальная прямая – среднее значение функции)
9.2. Гауссовский белый шум
- В качестве приближения к белому шуму можно выбирать любой некоррелированный стационарный (достаточно в узком смысле) процесс. Например, можно взять дискретный процесс D(t) с двумя равновероятными состояниями +1 и -1, в моменты t = 0, 1, 2, … процесс принимает одно из этих состояний. (Одна неприятность: если вычислить корреляцию совместного распределения двух таких величин, то окажется, что она не равна нулю).
- Упражнение. Найти корреляцию совместного распред., характеристики процесса D(t) (математическое ожидание, дисперсию, автокорреляционную функцию, функцию спектральной плотности).
9.3. Физические источники белого шума
- Белый шум, как и δ-функция существует лишь как матема-тическая абстракция. Оба это понятия возникли из при-родных явлений, абстрактное
